Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 - x & 1 & - 2 \\ - 1 & 2 - x & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - x \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Étape 2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$ .

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(1 - x) ((2 - x) (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Développez $(2 - x) (- 1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(1 - x) (2 (- 1 - x) - x (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(1 - x) (2 \cdot - 1 + 2 (- x) - x (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Étape 3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(1 - x) (2 \cdot - 1 + 2 (- x) - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(1 - x) (- 2 + 2 (- x) - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Étape 3.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Étape 3.2.1.2.1.3

Multipliez $- x \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.1.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + 1 x - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Étape 3.2.1.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Étape 3.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Étape 3.2.1.2.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Étape 3.2.1.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Étape 3.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x + 1 x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Étape 3.2.1.2.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x + x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Étape 3.2.1.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $x$ .

$(1 - x) (- 2 - x + x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(1 - x) (- 2 - x + x^{2} - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (1 (- 1 - x) - 1 \cdot - 2) + 0$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 1 - x$ par $1$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- 1 - x - 1 \cdot - 2) + 0$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- 1 - x + 2) + 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1) + 0$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Additionnez $(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1)$ et $0$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1)$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Développez $(1 - x) (- x + x^{2} - 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$1 (- x) + 1 x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Étape 5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $- x$ par $1$ .

$- x + 1 x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$- x + x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- x + x^{2} - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Étape 5.2.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Étape 5.2.2.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.5.1

Déplacez $x$ .

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Étape 5.2.2.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Étape 5.2.2.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- x + x^{2} - 3 + 1 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Étape 5.2.2.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Étape 5.2.2.8

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.8.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - (x^{2} x) - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Étape 5.2.2.8.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.2.2.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - (x^{2} x^{1}) - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Étape 5.2.2.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{2 + 1} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Étape 5.2.2.8.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Étape 5.2.2.9

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} + 3 x + 1 (- x + 1)$

Étape 5.2.3

Additionnez $- x$ et $3 x$ .

$x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} + 2 x + 1 (- x + 1)$

Étape 5.2.4

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 3 - x^{3} + 2 x + 1 (- x + 1)$

Étape 5.2.5

Multipliez $- x + 1$ par $1$ .

$2 x^{2} - 3 - x^{3} + 2 x - x + 1$

Étape 5.3

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$2 x^{2} - x^{3} + 2 x - x - 2$

Étape 5.4

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$2 x^{2} - x^{3} + x - 2$